3.2 Condiciones de la transformada de laplace

Condición dela transformada de Laplace: se define en términos de una integral impropia que puede ser divergente, existen funciones para las cuales no existe dicha transformada, incluso hay funciones discontinuas, como la del ejemplo anterior, que pueden tener transformada; entonces, ¿ bajo qué condiciones una funciones tienen transformada de Laplace ?. Antes de dar una respuesta parcial a esta pregunta debemos dar algunas definiciones.

FUNCIONES CONTINUAS A TROZOS:

Decimos que una función es continua a trozos si:

1. está definida y es continua en todo , salvo en un número finito depuntos , para
2. 
3. Para cada los límites :

existen. Note que, solamente uno de estos límites es pertinente si es uno de los extremos de .
En general, el requisito de que estos límites sean finitos en todos los puntos implica que las únicas discontinuidades de son discontinuidades de salto, del tipo que aparecen en la figura

Intuitivamente podríamos pensar que las funciones continuas a trozos son casicontínuas o que no son demasiado discontínuas.
Otra de las ideas importantes en el estudio de la existencia de la transformada de Laplace es que entendemos porqué una función no crezca demasiado rápido.

FUNCIONES DE ORDEN EXPONENCIAL

Decimos que la función     es de orden exponencial si existen números , y tales que :

para  .
Intuitivamente esto significa que la función esta por debajo de una función exponencial, como se muestra en la figura.

Observación: algunas veces, para verificar que una función es de orden exponencial, conviene calcular el siguiente límite:

para algún valor de . Si es finito, entonces puede ser cualquier número mayor que (y este determina ). Por otro lado, si , no es de orden exponencial.

Ejemplo
Compruebe que es de orden exponencial.

Solución:
Para comprobar esto, apliquemos tres veces la regla de "L'Hôpital" :

para cualquier número positivo . Por lo tanto, si es suficientemente grande , y así es de orden exponencial.

Ejemplo
Compruebe que la función es de orden exponencial para cualquier valor de .
Solución
Calculando el límite

siempre y cuando . De donde, para grande.

Observación: no es difícil comprobar que cualquier polinomio de grado o función trigonométrica como Sen(bt), Cos(bt), con constante, son de orden exponencial, así como, las sumas y productos de un número finito de estas funciones. En general, si y son de orden exponencial la suma y el producto son de orden exponencial

FUNCIONES ACOTADAS

Sea     una función acotada, entonces es de orden exponencial.

Demostración

Como es acotada para todo . Entonces :

para cualquier , con lo cual es de orden exponencial.

Observación: como y son acotadas, son de orden exponencial.

Una vez definidos los conceptos de función continua a trozos y función de orden exponencial ya estamos listos para enunciar una condición necesaria para la existencia de la transformada de Laplace.

EXISTENCIA DE LA TRANSFORMADA

Sea     una función continua a trozos y de orden exponencial, entonces la transformada de Laplace de existe. Es decir, existe un número tal que existe para .