Condición dela transformada de Laplace: se define en términos de una integral impropia que puede ser divergente, existen funciones para las cuales no existe dicha transformada, incluso hay funciones discontinuas, como la del ejemplo anterior, que pueden tener transformada; entonces, ¿ bajo qué condiciones una funciones tienen transformada de Laplace ?. Antes de dar una respuesta parcial a esta pregunta debemos dar algunas definiciones.


está definida y es continua en todo
, salvo en un número finito depuntos
, para
- Para cada los límites :



En general, el requisito de que estos límites sean finitos en todos los puntos



Intuitivamente podríamos pensar que las funciones continuas a trozos son casicontínuas o que no son demasiado discontínuas.
Otra de las ideas importantes en el estudio de la existencia de la transformada de Laplace es que entendemos porqué una función no crezca demasiado rápido.








Intuitivamente esto significa que la función











Ejemplo
Compruebe que

Solución:
Para comprobar esto, apliquemos tres veces la regla de "L'Hôpital" :





Ejemplo
Compruebe que la función


Solución
Calculando el límite




Observación: no es difícil comprobar que cualquier polinomio de grado
o función trigonométrica como Sen(bt), Cos(bt), con
constante, son de orden exponencial, así como, las sumas y productos de un número finito de estas funciones. En general, si
y
son de orden exponencial la suma
y el producto
son de orden exponencial






Sea

una función acotada, entonces es de orden exponencial.



Demostración
Como
es acotada
para todo
. Entonces :




para cualquier
, con lo cual
es de orden exponencial.


Observación: como
y
son acotadas, son de orden exponencial.


Una vez definidos los conceptos de función continua a trozos y función de orden exponencial ya estamos listos para enunciar una condición necesaria para la existencia de la transformada de Laplace.
Sea

una función continua a trozos y de orden exponencial, entonces la transformada de Laplace de
existe. Es decir, existe un número
tal que
existe para
.







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