3.16.1 Determinación de la Trasformada Inversa Mediante el Uso de las Fracciones Parciales

3.16.2 Determinación de la Trasformada Inversa Usando los Teoremas de Heaviside

Es común encontrar funciones que corresponden a estados de sí o no, o bien activo o inactivo. Por ejemplo, una fuerza externa que actúa sobre un sistema mecánico o una tensión eléctrica aplicada a un circuito, puede tener que suspenderse después de cierto tiempo. Para tratar de forma efectiva con estas funciones discontinuas conviene introducir una función especial llamada función escalón unitario.

Función de Heaviside
La función escalón unitario o función de Heaviside     se define como

3.16 propiedades de la transformada inversa (linealidad,traslacion)

Linealidad de la transformada inversa
Sean y funciones continuas a trozos y de orden exponencial en el intervalo tales que y , entonces
 =
                                   =

Teorema Forma inversa del primer teorema de traslación:

Demostración
La prueba es inmediata apartir de la definción:

3.15 Algunas Trasformadas Inversas

Se dice que f(t) es la transformada inversa de Laplace de F(s) y se expresa:

Algunas transformadas inversas

a) b)

c) d)

e) f)

g)

es una transformada lineal. Suponemos que la transformada inversa de Laplace es, en sí, una transformación lineal; esto es, si y son constantes,

en donde F y G son las transformadas de las funciones f y g.

La transformada inversa de Laplace de una función F(s) puede no ser única. Es posible que y, sin embargo, .
Comportamiento de F(s) cuando
Si f(t) es continua por tramos en y de orden exponencial para t>T, entonces

Demostración Dado que f(t) es continua parte por parte en , necesariamente es acotada en el intervalo; o sea . También cuando t>T. Si M representa el máximo de y c indica el máximo de , entonces

para s>c. Cuando , se tiene que , de modo que .

3.14 La transformada inversa de Laplace

La transformada inversa de Laplace Al aplicar la transformada de Laplace a una ecuación diferencial la convertimos en una ecuación algebraica, la cual podemos resolver para , es decir, . Ahora, como si pudiéramos devolvernos obtendríamos la solución que buscamos. Es decir, necesitamos de la transformada inversa , para hallar la función Entonces definamos la transformada inversa.

Definicion:

Si es la transformada de Laplace de una función continua , es decir, , entonces la transformada inversa de Laplace de , escrita es , es decir,