3.13 Transformada de Laplace de la función Delta Dirac.

3.12 Función Delta dirac

La delta de Dirac (inapropiadamente llamada función delta de Dirac) es una distribución (función generalizada) introducida por primera vez por el físico inglés Paul Dirac y, como distribución, define un funcional en forma de integral sobre un cierto espacio de funciones. Se escribe como:

Siendo para el caso
En física, la delta de Dirac puede representar la distribución de densidad de una masa unidad concentrada en un punto a. Esta función constituye una aproximación muy útil para funciones picudas y constituye el mismo tipo de abstracción matemática que una carga o masa puntual. En ocasiones se denomina también función de impulso. Además, la delta de Dirac permite definir la derivada generalizada de funciones discontinuas. Concretamente, se tiene la siguiente relación con la función escalón:

Intuitivamente se puede imaginar la función δ(x) como una función que tiene un valor infinito en x = 0; tiene un valor nulo en cualquier otro punto, de tal manera que su integral es uno.


Estas propiedades se pueden demostrar multiplicando ambos miembros de cada igualdad por una función f(x) e integrando teniendo en cuenta que la función delta no puede formar parte del resultado a menos que esté dentro de una integral.

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En coordenadas esféricas se tiene:

3.11 Transformada de Laplace de una función periódica.

3.11 Transformada de Laplace de una función periódica.

Es muy común, especialmente en aplicaciones ligadas a circuitos eléctricos, la presencia de una fuerza externa periódica.

Es usual tener voltajes en forma de ondas diente de sierra, ondas en escalón, etc. Por lo que es necesario calcular sus transformadas.

TEOREMA (Transformada de una función periódica)

Sea f: [0, + ∞] à R una función continua a trozos y de orden exponencial en el intervalo [0, + ∞].

Si f (t) es periódica, con periodo T, entonces

 

Solución:  T=2y  Y su tranformada:



3.10 Teorema de convolución

(Teorema de convolución)   Sea un par de funciones tal que su producto de convolución existe. Entonces, se cumple

3.9 Transformada de integrales.

 

 

La entrada de esta función T encontramos una función f(t), y la salida otra función F(u). Una transformada es un tipo especial de operador matemático. En ella t₁ y t₂ son dos valores que dependen de su definición, y pueden variar desde hasta .

Hay numerosas transformadas integrales útiles. Cada una depende de la función K de dos variables escogida, llamada la función núcleo o kernel de la transformación.

Algunos núcleos tienen una K inversa asociada, K ^{− 1}(u,t) , que (más o menos) da una transformada inversa:

Una función que se utiliza muy comunmente en el estudio de análisis de señales es la función Escalón Unitario ofine a continuación:

De

como sigue:

finicion: (Función Escalón Unitario) La función Escalón Unitario o Función de Heaviside se define

Función Escalón Unitario

Heaviside que se de

3.8- Transformada de Derivada

Transformada de una derivada

son continuas en [0, oo), son de orden exponencial, y si f ⁽ⁿ⁾(t) es continua parte por parte en [0, oo), entonces

en donde

EJEMPLO:

Observese que la suma kt cos kt + sen kt es la derivada de t sen kt. En consecuencia,

Convolución Si las funciones f y g son continuas parte por parte en [0, oo), la convolución de f y g se representa por f * g y se define con la integral

Por ejemplo, la convolución de f(t) = e^t y g(t) = sen t es

(4)

Se deja como ejercicio demostrar que

Esto es, que f * g = g * f